In triunghiul ABC punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, BC si respectiv AC. Sa se arate ca AM + AP = AN
Rezolvare
Metoda 1
Pentru a arăta că MN, MP și PN sunt linii mijlocii, trebuie să demonstrăm că ele sunt paralele cu laturile triunghiului ABC și că au lungimea egală cu jumătatea lungimii acestora.
Din definiția liniilor mijlocii, știm că acestea unesc mijloacele laturilor opuse ale unui patrulater, și că sunt paralele cu laturile acestuia. Deci, pentru a arăta că MN, MP și PN sunt linii mijlocii, trebuie să arătăm că ele unesc mijloacele laturilor opuse ale unui patrulater și că sunt paralele cu laturile acestuia.
Fie Q mijlocul segmentului MN, R mijlocul segmentului MP și S mijlocul segmentului PN. Atunci, din definiția mijloacelor, avem:
MQ = QN, MR = RP și PS = SN.
Dar, de asemenea, din definiția mijloacelor, știm că AM = MB și AP = PC, deci avem:
AM + MB = AN, AP + PC = AC.
Adunând cele două ecuații și scăzând AB și AC, obținem:
AM + AP = AN.
Inseamnă că patrulaterul AMNP este un paralelogram. De asemenea, deoarece Q, R și S sunt mijloacele laturilor opuse ale acestui paralelogram, ele sunt paralele cu laturile acestuia și au lungimea egală cu jumătatea lungimii lor. Prin urmare, MN, MP și PN sunt linii mijlocii ale triunghiului ABC si deci AN = AM + AP
Metoda 2
Putem rezolva problema prin utilizarea teoremei medianelor dintr-un triunghi.
Fie AM, BN și CP medianele triunghiului ABC, iar G punctul de intersectie al acestora, numit punctul lui Gergonne. Observăm că triunghiurile ABG și ACG sunt asemenea, prin raportul medianelor putându-se scrie:
AG/AM = BG/BN și AG/AC = CG/CP.
Înmulțind membre cu membre, obținem:
AG² = AMAN și AG² = APAC.
Deci AMAN = APAC, ceea ce înseamnă că AM + AP = AN
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu