Ex: formula puteri, formule analiza financiara, inmultirea radicalilor exercitii rezolvate
Custom Search

Geometrie in spatiu problema rezolvata 23

Intr-un trunchi de con, raza mare R = 8 cm, raza mica r = 5 cm, iar generatoarea face cu baza un unghi de 50o (fig.1).

Sa se afle:
1. Volumul trunchiului de con;
2. Aria totala a trunchiului de con.





trunchi de con problema rezolvata



















Rezolvare


1. In formula care calculeaza volumul trunchiului de con intra R, r si h-inaltimea.
Cunoastem R si r, dar nu cunoastem h. Pentru a afla inaltimea h, ducem prin a o perpendiculara aB pe planul bazei. Se formeaza un dreptunghi OBao, in care OB = oa = r = 5 cm.

De aici aflam BA:

BA = OA – OB =>
BA = 8 – 5 =>
BA = 3 cm.


In triunghiul dreptunghic ABa aflam pe aB:

aB = AB tg 50o =>
aB = 3 * 1,192 =>
aB = 3,576 cm
deci h = aB = 3,576 cm


Volumul trunchiului de con:

Vtrunchi de con = (Π * h) / 3 (R2 + r2 + R * r)
Vtrunchi de con = (Π * 3,576) / 3 (82 + 52 + 8 * 5)
Vtrunchi de con = (Π * 3,576) / 3 (64 + 25 + 40)
Vtrunchi de con = (Π * 3,576) / 3 (129)
Vtrunchi de con = (461,691 * Π) / 3
Vtrunchi de con = (461,691 * 3,14) / 3
Vtrunchi de con = 1449,71 / 3
Vtrunchi de con = 483,24 cm2

2. Pentru a afla aria trunchiului de con, trebuie sa aflam generatoarea lui (G).
Generatoarea o aflam din triunghiul aAB:

cos A = AB / Aa =>
cos A = 3 / Aa =>
Aa = 3 / cos 50o =>
Aa = 3 / 0,643 =>
Aa = 4,67 cm

Aa = G = 4,67 cm

Aflam aria laterala a trunchiului de con:


Al = Π * G (R + r)
Al = Π * 4,67 (8 + 5) =>
Al = Π * 4,67 * 13 =>
Al = 60,71 Π

Aria bazelor trunchiului de con:

A bazei mici = Πr2
A bazei mici = Π 52
A bazei mici = 25 Π

A bazei mari = ΠR2
A bazei mari = Π82
A bazei mari = 64 Π

Deci aria totala a trunchiului de con:

At = Al + A bazei mici + A bazei mari
At = 60,71 Π + 25 Π + 64 Π
At = 149,71 Π
At = 149,71 * 3,14

At = 470,09 cm2