Functie analitica

FUNCŢIE ANALITICĂ (definitia standard) (gr: ana = prin, litikos = descompunere), este funcţia reală (complexă) f(z) unde z = x + iy definită univoc în fiecare punct din domeniul său de definiţie D şi care poate fi reprezentată în jurul fiecărui punct din D printr-o serie de puteri. Deci pentru orice z_0⋹D, avem:

unde: n⋹N şi k⋹Z. 

E: analytic function; F: fonction analytique 

Deci funcția analitică este o funcție care poate fi reprezentată printr-o serie puterilor unei variabile complexe, care converge într-un disc închis din planul complex. Pentru a calcula valorile funcției, se poate folosi formula lui Cauchy pentru derivatele complexe.



Un exemplu simplu de funcție analitică este funcția exponențială, definită ca:

f(z) = e^z

Aceasta poate fi scrisă sub forma unei serii de puteri:

f(z) = ∑n=0^∞ (1/n!) * z^n

Centrul seriei este z_0 = 0 și coeficienții c_n = 1/n!.

Pentru a calcula valoarea funcției într-un punct z = a + bi, se poate folosi formula seriei de puteri:

f(a + bi) = ∑n=0^∞ (1/n!) * (a + bi)^n

Pentru a evalua această serie, se pot folosi formulele de calcul ale puterilor complexe și ale factorialului. D

e exemplu, pentru a calcula e^i, se poate folosi:

e^i = cos(1) + i*sin(1) = 0.5403 + 0.8415i

Deci, e^i ≈ 0.5403 + 0.8415i.