Sa se arate ca E = √(1 + 3 + 5 + ... + 21) este numar natural

Sa se arate ca E = √(1 + 3 + 5 + ... + 21) este numar natural

Rezolvare

Observăm că seria de numere pare 2 + 4 + 6 + ... + 20 este o progresie aritmetică cu primul termen a1 = 2, ultimul termen an = 20 și rată d = 2. Putem aplica formula de calcul a sumei unei progresii aritmetice pentru a afla suma acestei serii:

S = (n/2) * (a1 + an) = (10/2) * (2 + 20) = 110

Seria inițială 1 + 3 + 5 + ... + 21 poate fi scrisă ca suma a două serii de numere impare consecutive:

1 + 3 + 5 + ... + 21 = (1 + 3 + 5 + ... + 19) + 21

Această primă serie este tot o progresie aritmetică cu primul termen a1 = 1, ultimul termen an = 19 și rată d = 2. Putem calcula suma acestei serii folosind aceeași formulă:

S1 = (n/2) * (a1 + an) = (10/2) * (1 + 19) = 100

În final, putem calcula suma seriei inițiale folosind formula de calcul a sumei unei serii aritmetice a două șiruri:

S = S1 + 21 = 100 + 21 = 121

Deci E = √(1 + 3 + 5 + ... + 21) = √121 = 11, care este un număr natural. 

Prin urmare, am demonstrat că E este un număr natural.