Teorema celor 3 perpendiculare

Trema celor 3 perpendiculare este o teorema importanta din geometria plana care afirma ca trei drepte perpendiculare doua cate doua sunt concurente Intr-un punct. Acest punct se numeste punctul ortocentrului triunghiului.

Definitie

Daca o dreapta, este perpendiculara pe un plan si din piciorul ei ducem o perpendiculara pe o dreapta data din acel plan, atunci dreapta determinata de un punct al perpendicularei pe plan si de intersectia celor doua drepte din plan, este perpendiculara pe dreapta data din plan.

Teorema celor 3 perpendiculare

Demonstratie:

Deoarece dreapta AB este 丄 pe planul ∝ si dreapta (d inclusa in ∝) d ⊂ ∝, deducem ca AB 丄 pe dreapta d. Cum d este perpendiculara 丄 pe dreapta BC, deducem ca d 丄 (ABC), deoarece d este perpendiculara pe doua drepte concurente din planul (ABC) rezulta ca d este perpendiculara si pe dreapta AC.

Deci daca:

AB este 丄 pe planul ∝

d ⊂ ∝

BC 丄 d

Atunci rezulta ca:

AC 丄 d

Este indicat sa aplicam Teorema celor 3 perpendiculare pentru calculul distantei de la un punct la o dreapta.

Probleme rezolvate cu Teorema celor 3 perpendiculare

Bine de stiut

Formulele asociate acestei teoreme sunt urmatoarele:

Intr-un triunghi ABC, perpendicularele duse din varfurile A, B si C pe laturile opuse sunt concurente Intr-un punct H, numit ortocentrul triunghiului ABC.

Formula pentru distanta de la un punct la o dreapta este: 

d = |ax + by + c| / √(a^2 + b^2)

unde: 

(x, y) este coordonata punctului

a, b si c sunt coeficientii ecuatiei dreptei.

Aceasta teorema este utilizata in mai multe domenii, inclusiv:

Geometria euclidiana: 

Teorema celor 3 perpendiculare este foarte importanta In geometria euclidiana, deoarece ofera o metoda pentru a gasi punctul ortocentrului Intr-un triunghi.

Inginerie si arhitectura: 

Teorema celor 3 perpendiculare este folosita pentru a gasi pozitionarea corecta a obiectelor, cum ar fi coloane, piloni sau structuri de poduri.

Design grafic si web design: 

In designul grafic si web design, teorema celor 3 perpendiculare poate fi folosita pentru a gasi pozitia corecta a elementelor grafice si a textului Intr-un design.

Calculul de distante: 

Formula pentru distanta de la un punct la o dreapta este utila In multe domenii, inclusiv In calculul distantelor Intre obiecte si In geometria computationala.