Sa se calculeze vectorii AB+BC+CA stiind ca A, B, C sunt varfurile unui triunghi

Sa se calculeze vectorii AB+BC+CA stiind ca A, B, C sunt varfurile unui triunghi.

Rezolvare

Pentru a calcula vectorii AB+BC+CA, trebuie sa cunoastem coordonatele punctelor A, B si C din plan sau din spatiu. Vom presupune ca avem de-a face cu un triunghi din plan, avand in vedere ca nu s-au dat detalii suplimentare.

Fie A(x1, y1), B(x2, y2) si C(x3, y3) coordonatele varfurilor triunghiului ABC.

Vectorul AB se calculeaza prin scaderea coordonatelor punctului A din cele ale punctului B, astfel:

AB = B - A = (x2 - x1, y2 - y1)

Vectorul BC se calculeaza prin scaderea coordonatelor punctului B din cele ale punctului C, astfel:

BC = C - B = (x3 - x2, y3 - y2)

Vectorul CA se calculeaza prin scaderea coordonatelor punctului C din cele ale punctului A, astfel:

CA = A - C = (x1 - x3, y1 - y3)

Astfel, putem calcula suma vectorilor AB+BC+CA prin adunarea componentelor vectorilor, astfel:

AB + BC + CA = (x2 - x1, y2 - y1) + (x3 - x2, y3 - y2) + (x1 - x3, y1 - y3)

Simplificand aceasta expresie, obtinem:

AB + BC + CA = (x2 - x1 + x3 - x2 + x1 - x3, y2 - y1 + y3 - y2 + y1 - y3)

AB + BC + CA = (0, 0)

Prin urmare, vectorul AB+BC+CA este vectorul nul, adica are coordonatele (0, 0). Aceasta rezultat poate fi verificat intuitiv: daca parcurgem conturul triunghiului ABC in sens trigonometric, vectorii AB, BC si CA vor fi orientati astfel incat vor forma un triunghi echilateral, iar suma lor va fi un vector nul.