Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia log(2) ...

Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia log(2)(x^2 + 4) = log(2)(x + 4)

Rezolvare

Conditii:

$x^{2} + 4 > 0$

$x + 4 > 0$

$=> x > - 4$

$x ⋹ (- 4, + ∞)$

Pentru a rezolva această ecuație, putem începe prin a folosi următoarele proprietăți ale logaritmilor:

$log_{a}b = log_{c}b <=> a = c$

$log_{a}b + log_{a}c = log_{a}(bc)$

$log_{a}b - log_{a}c = log_{a}\frac{b}{c}$

Aplicând prima proprietate, putem reduce ecuația la:

$x^{2} + 4 = x + 4$

Rearanjând termenii, obținem: $x^{2} - x = 0$

Factorizând x, avem:

$x(x - 1) = 0$

$ \boxed{x = 0}$

$x - 1 = 0$

$\boxed{x = 1}$

Deci soluțiile ecuației sunt $x = 0$ și $x = 1$.

Verificăm acum dacă acestea sunt soluții valide ale ecuației inițiale.

Pentru $x = 0$, avem:

$log_{2}0^{2} + 4) = log_{2}(0 + 4)$

$log_{2}4 = log_{2}4$

Deci $x = 0$ este o soluție validă.

Pentru $x = 1$, avem:

$log_{2}(1^{2} + 4) = log_{2}(1 + 4)$

$log_{2}5 = log_{2}5$

Deci $x = 1$ este și ea o soluție validă.

Astfel, soluțiile ecuației în mulțimea numerelor reale sunt $x = 0$ și $x = 1$ care $⋹ (- 4, + ∞)$