Teorema fundamentala a asemanarii

Teorema fundamentală a asemănării afirmă că, într-un triunghi, dacă două unghiuri sunt egale, atunci rapoartele dintre laturile opuse acestor unghiuri sunt egale. Mai precis, dacă avem triunghiul ABC și triunghiul DEF astfel încât unghiul A este egal cu unghiul D și unghiul B este egal cu unghiul E, atunci:

AB/DE = AC/DF = BC/EF

Această teoremă este esențială în geometria euclidiană și este utilizată pentru a demonstra multe alte proprietăți geometrice ale triunghiurilor și altor forme.



Formula de calcul se bazează pe teorema fundamentală a asemănării și poate fi utilizată pentru a găsi lungimile laturilor unui triunghi asemănător cu un alt triunghi dat. Presupunând că avem triunghiurile ABC și XYZ și că știm că acestea sunt asemănătoare, putem utiliza formula de calcul:

AB/XY = AC/XZ = BC/YZ

Pentru a găsi lungimea unei laturi necunoscute, putem folosi această formulă și relațiile dintre lungimile laturilor cunoscute. De exemplu, dacă știm că AB = 4, AC = 6 și BC = 8 în triunghiul ABC și că triunghiul XYZ este asemănător cu triunghiul ABC, putem găsi lungimea laturii XY astfel:

AB/XY = AC/XZ = BC/YZ

4/XY = 6/XZ = 8/YZ

Din această relație, putem vedea că XY = (4 * YZ)/8. Putem folosi această relație pentru a găsi lungimea laturii XY dacă cunoaștem lungimea laturii YZ. 

De exemplu, dacă YZ = 6, atunci:

XY = (4 * 6)/8 = 3

Deci, lungimea laturii XY este de 3 unități.

Problema rezolvata cu teorema fundamentala a asemanarii:

Două triunghiuri au două unghiuri congruente. Demonstrați că aceste triunghiuri sunt asemenea.

Rezolvare

Conform teoremei fundamentale a asemănării, două triunghiuri sunt asemănătoare dacă și numai dacă au unghiurile congruente.

În această problemă, ni se spune că două unghiuri ale triunghiurilor sunt congruente. Vom nota cele două triunghiuri ca ABC și DEF, unde unghiul ABC și unghiul DEF sunt congruente, iar lungimile laturilor opuse acestor unghiuri sunt a, b și c pentru ABC și d, e și f pentru DEF.

Din aceste date, putem spune că unghiul BAC este congruent cu unghiul EDF (deoarece suma măsurilor unghiurilor dintr-un triunghi este 180 de grade și celelalte două unghiuri sunt congruente). Mai mult decât atât, unghiul ABC este congruent cu unghiul DEF din același motiv.

Astfel, putem scrie:

unghiul BAC ≅ unghiul EDF unghiul ABC ≅ unghiul DEF

În aceste condiții, putem folosi teorema fundamentală a asemănării pentru a concluziona că ABC și DEF sunt asemănătoare, adică:

ABC ~ DEF

De asemenea, putem spune că raportul lungimilor laturilor corespunzătoare ale acestor triunghiuri este constant și egal cu raportul lungimilor altor laturi corespunzătoare:

AB/DE = AC/DF = BC/EF

Aceasta este teorema fundamentală a asemănării.

Teoreme si Legi