Legea lui Bernoulli

Aceasta lege se aplica curgerii stationare a unui lichid ideal. Un lichid ideal are urmatoarele caracteristici:

- nu are vascozitate;

- este incompresibil;

- viteza unei particule de lichid este independenta de timp.

Consideram un tub de curent cu sectiunea variabila. Vom studia curgerea fluidului cuprins intre sectiunile S₁ si S₂ din tubul de current (Fig.1).

Fig.1
Debitul de-a lungul unui tub de curent de fluid ideal
in regim permanent este constant (C)

Ca urmare a incompresibilitatii fluidului, volumul V₁ de fluid care traverseaza sectiunea S₁ in intervalul de timp Δt este egal cu volumul V₂ de fluid care traverseaza sectiunea S₂ in acelasi interval de timp.

Plecand de la ecuatia de continuitate:

S₁v₁ = S₂v₂

Pe care o inmultim cu Δt rezulta:

S₁v₁ Δt = S₂v₂ Δt

sau (conform cu Fig.1):

 S₁ ∙ A₁C₁= S₂ ∙ A₂C₂

De unde rezulta ca:

V₁ = V₂ = V

Totul se petrece ca si cum in intervalul de timp Δt s-ar transfera direct din pozitia A₁B₁C₁D₁ o masa de fluid m = ρV, in pozitia A₂B₂C₂D₂ fara ca fluidul intermediar sa se fi miscat.

Masa de fluid m are la traversarea sectiunii S₁ energia cinetica ½ mv₁², iar la traversarea sectiunii S₂ are energia cinetica ½ mv₂². Variatia energiei cinetice a masei m, in intervalul de timp in care a fost transferata din pozitia A₁B₁C₁D₁ in pozitia A₂B₂C₂D₂ este:

ΔE_c = ½ m(v₂² – v₁²)

Aceasta ecuatie trebuie sa fie egala cu lucrul mecanic al fortelor ce se exercita asupra sistemului considerat in intervalul de timp Δt. Aceste forte sunt fortele de presiune F₁ = p₁S₁ si F₂ = p₂S₂ care actioneaza asupra lichidului cuprins intre sectiunile S₁ si S₂ si greutatea mg a lichidului transferat.

In intervalul de timp Δt in care masa m traverseaza sectiunea S₁ sub actiunea fortei F₁ al carei punct de aplicatie se deplaseaza pe distanta A₁C₁ se efectueaza urmatorul lucru mecanic motor:

L₁ = F₁ ∙ A₁C₁ = p₁S₁ ∙ A₁C₁ = p₁V = p₁(m/ρ)

In acelasi interval de timp forta F₂ = p₂S₂ care se exercita perpendicular pe sectiunea S₂ efectueaza urmatorul lucru mecanic rezistent:

L₂ = - F₂ ∙ C₂A₂ = - p₂V = - p₂(m/ρ)

Lucrul mecanic al greutatii masei de lichid transferate este:

 L₃ = - mg (z₂ – z₁)

Egaland variatia energiei cinetice a masei m cu lucrul mecanic rezultat al fortelor ce se exercita asupra acestei mase, obtinem Ecuatia lui Bernoulli care se poate scrisa in 3 forme:

1)  (p₁ – p₂) m/ρ + mg(z₂ – z₁) = ½ m(v₂² – v₁²)

sau

2)   p₁ + ρgz₁ + ½ ρv₁² = p₂ + ρgz₂ + ½ ρv₂² 

sau

3)  p + 1/2 ρv² + ρgz = constant = C

Constanta C este aceeasi de-a lungul liniei de curent si este independenta de timp. Termenii din ecuatia 3) au toti dimensiunile unei presiuni. Pentru a-i distinge se utilizeaza denimirile:

p = presiune statica

1/2 ρv² = presiune dinamica

ρgz = presiune de pozitie (termen datorat energiei potentiale)

In cazul actiunii fluidului asupra unui perete, pe un element de suprafata ΔS al peretelui se va exercita o forta de presiune pΔS, unde p se scoate din relatia 3).

In cazul particular cand tubul de curent este practic orizontal sau cand energia potentiala este neglijabila, obtinem:

p +  1/2ρv²  = C

Legi si Teoreme Fizica

Probleme rezolvate fizica clasa a 9-a

Exercitii si probleme rezolvate