Intr-un trunchi de con, raza mare R = 8 cm, raza mica r = 5 cm, iar generatoarea face cu baza
un unghi de 50o (fig.1).
Sa se afle:
1. Volumul trunchiului de con;
2. Aria totala a trunchiului de
con.
Rezolvare
1. In formula care calculeaza
volumul trunchiului de con intra R, r si h-inaltimea.
Cunoastem R si r, dar nu cunoastem
h. Pentru a afla inaltimea h, ducem prin a o perpendiculara aB pe planul bazei.
Se formeaza un dreptunghi OBao, in care OB = oa = r = 5 cm.
De aici aflam BA:
BA = OA – OB =>
BA = 8 – 5 =>
BA = 3 cm.
In triunghiul dreptunghic ABa aflam
pe aB:
aB = AB tg 50o =>
aB = 3 * 1,192 =>
aB = 3,576 cm
deci h = aB = 3,576 cm
Volumul trunchiului de con:
Vtrunchi de con = (Π * h) / 3 (R2
+ r2 + R * r)
Vtrunchi de con = (Π * 3,576) / 3
(82 + 52 + 8 * 5)
Vtrunchi de con = (Π * 3,576) / 3
(64 + 25 + 40)
Vtrunchi de con = (Π * 3,576) / 3
(129)
Vtrunchi de con = (461,691 * Π) / 3
Vtrunchi de con = (461,691 * 3,14)
/ 3
Vtrunchi de con = 1449,71 / 3
Vtrunchi de con = 483,24 cm2
2. Pentru a afla aria trunchiului
de con, trebuie sa aflam generatoarea lui (G).
Generatoarea o aflam din triunghiul
aAB:
cos A = AB / Aa =>
cos A = 3 / Aa =>
Aa = 3 / cos 50o =>
Aa = 3 / 0,643 =>
Aa = 4,67 cm
Aa = G = 4,67 cm
Aflam aria laterala a trunchiului
de con:
Al = Π * G (R + r)
Al = Π * 4,67 (8 + 5) =>
Al = Π * 4,67 * 13 =>
Al = 60,71 Π
Aria bazelor trunchiului de con:
A bazei mici = Πr2
A bazei mici = Π 52
A bazei mici = 25 Π
A bazei mari = ΠR2
A bazei mari = Π82
A bazei mari =
64 Π
Deci aria totala a trunchiului de
con:
At = Al + A bazei mici + A bazei mari
At = 60,71 Π + 25 Π + 64 Π
At = 149,71 Π
At = 149,71 * 3,14
At = 470,09 cm2