Formula fundamentală a trigonometriei se referă la relația dintre lungimile laturilor și unghiurile unui triunghi dreptunghic și este următoarea:
sin^2 θ + cos^2 θ = 1
unde θ este unul dintre unghiurile ascutite ale triunghiului dreptunghic, iar sin θ și cos θ reprezintă funcțiile trigonometrice sinus și cosinus ale unghiului θ.
Două exemple ușoare de utilizare a formulei fundamentale a trigonometriei sunt:
Exemplu 1 rezolvat
Calcularea valorii unei funcții trigonometrice, dat fiind valorile celorlalte două. Să presupunem că cunoaștem că sin θ = 0.6. Atunci putem utiliza formula fundamentală a trigonometriei pentru a calcula valoarea cosinusului unghiului θ:
cos^2 θ = 1 - sin^2 θ = 1 - 0.6^2 = 0.64
Prin urmare, cos θ = ± 0.8, deoarece cos θ este pozitiv în primul și al patrulea cadran și negativ în al doilea și al treilea cadran.
Exemplu 2 rezolvat
Calcularea lungimii unei laturi a triunghiului dreptunghic, dat fiind unghiul și o altă lungime a laturii.
Să presupunem că avem un triunghi dreptunghic cu unghiul de 30 de grade și lungimea ipotenuzei de 10 cm. Putem utiliza formula fundamentală a trigonometriei pentru a calcula lungimea laturii opuse unghiului de 30 de grade:
Folosim tabelul trigonometric pentru a afla valorile sin si cos ale unghiurilor:
sin^2 30° + cos^2 30° = 1 (1/2)^2 + cos^2 30° = 1 1/4 + cos^2 30° = 1 cos^2 30° = 3/4
Prin urmare, cos 30° = ±√(3)/2. Deoarece cos 30° este pozitiv în primul cadran, putem concluziona că lungimea laturii opuse unghiului de 30 de grade este:
sin 30° = 1/2
Lungimea laturii opuse = 10 x (1/2) = 5 cm.