Definitie
Sirul lui Rolle este o teoremă fundamentală a analizei matematice care este folosită pentru a găsi punctele critice sau de extrema ale unei funcții continue pe un interval dat.
Formularea Teoremei lui Rolle:
Dacă o funcție f(x) este continuă pe intervalul [a, b] și diferentiabilă pe intervalul deschis (a, b), iar f(a) = f(b), atunci există cel puțin un punct c în (a, b) astfel încât f'(c) = 0.
Aceasta înseamnă că, dacă o funcție continuă are aceeași valoare la capetele intervalului și este diferențiabilă în interiorul intervalului, atunci există cel puțin un punct în interiorul intervalului unde derivata funcției este egală cu zero.
Exemplu:
Să considerăm funcția:
Funcția este continuă pe intervalul [0,3] și diferentiabilă pe intervalul deschis (0,3).
De asemenea:
$f(0) = 3 și f(3) = 0, deci f(a) = f(b)$
Aplicând teorema lui Rolle, există cel puțin un punct c în (0,3) astfel încât $f'(c) = 0$.
Derivata funcției este:
$f'(x) = 2x - 4$
Prin urmare, găsim:
$f'(x) = 2x - 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
Deci, există cel puțin un punct c în intervalul (0,3) astfel încât f'(c) = 0, iar acest punct este x = 2.
Exercitiu rezolvat Sirul lui Rolle
Exercitii rezolvate cu Teorema lui Rolle
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu