Sa se calculeze aria triunghiului echilateral ABC stiind ca A(-1, 1) si B(3, -2)

Sa se calculeze aria triunghiului echilateral ABC stiind ca A(-1, 1) si B(3, -2).

Rezolvare

Pentru a calcula aria triunghiului ABC, trebuie să cunoaștem coordonatele celui de-al treilea punct, C. Deoarece triunghiul este echilateral, știm că toate laturile sale au aceeași lungime, deci distanța dintre punctele A și B este aceeași cu distanța dintre punctele B și C, care este la fel cu distanța dintre punctele C și A.

Identificam $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$

$A(-1, 1) \ si \ B(3, -2)$ adica:

$A(x_{1}, y_{1})  \ si \ B(x_{2}, y_{2})$

Putem folosi formula distanței între două puncte pentru a calcula lungimea laturii triunghiului dat de AB:

$AB = \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}$

$= \sqrt{(3 - (-1))² + (-2 - 1)²}$

$= \sqrt{(4)² + (-3)²}$

$= \sqrt{16 + 9}$

$= \sqrt{25}$

$AB = 5$

Pentru a afla aria triungiului echilateral avem nevoie de inaltimea acestuia pentru a aplica formula pentru arie, respectiv:

A = (b x h) / 2

unde:

b = baza triunghiului (o latura a triunghiului)
h = inaltimea triunghiului

Pentru a afla înălțimea triunghiului echilateral, putem folosi o perpendiculară trasată de la vârful triunghiului la baza sa. Această perpendiculară împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice, unde unghiul de la baza triunghiului este de 60 de grade, iar cele două unghiuri de la vârf sunt de 45 de grade fiecare.

Dacă notăm lungimea unei laturi a triunghiului cu "l", atunci putem folosi relația trigonometrică pentru unghiul de 60 de grade din triunghiul dreptunghic pentru a afla înălțimea:

tg(60) = h / (l/2),

unde "h" reprezintă înălțimea triunghiului. 

Observăm că lungimea bazei triunghiului este de "l", dar în relația de mai sus am împărțit-o la 2, deoarece triunghiul dreptunghic are un unghi de 90 de grade la mijlocul bazei și am împărțit astfel baza în două pentru a obține cele două catete ale triunghiului dreptunghic.

cautam valoarea numerica a tangentei de 60 grade (tg 60 grade) in tabelul trigonometric

Simplificând această relație, obținem:

$√3 = \frac{h}{\frac{l}{2}}$

$h = \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2}$

Dacă lungimea laturii AB a triunghiului echilateral ABC este = 5, atunci putem folosi formula aria triunghiului echilateral pentru a calcula aria acestuia:

$A = \frac{b \cdot h}{2}$

$A = \frac{l \cdot h}{2}$

inlocuim valoarea inaltimii "h" calculata mai sus si avem:

$A = \frac{l \cdot \frac{(l \cdot √3)}{2}}{2}$

$A = \frac{l^{2} \cdot √3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$A = l^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} $

$A = 5^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} $

$=  25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Prin urmare, aria triunghiului echilateral ABC este de $ 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$