Sa se determine solutiile reale ale inecuatiei (2x + 3) / (x^2 + x + 1) ≥ 1

Rezolvare


Începem prin a aduce inecuația la o formă mai simplă, cu toți termenii pe o parte și cu zero pe cealaltă parte. Pentru aceasta, vom scădea 1 de pe ambele părți și vom obține:

(2x + 3) / (x^2 + x + 1) - 1 ≥ 0


Pentru a simplifica această expresie, vom face mai întâi numitorul pozitiv, folosind faptul că x^2 + x + 1 este întotdeauna pozitiv, deoarece este suma pătratelor:

(2x + 3 - x^2 - x - 1) / (x^2 + x + 1) ≥ 0

(-x^2 + x + 2) / (x^2 + x + 1) ≥ 0


Vom determina apoi semnele factorilor de sus și jos ai fractiei:

Factorul de sus, -x^2 + x + 2, poate fi scris ca - (x - 2)(x + 1), deci are semnele:

(x - 2)(x + 1) ≥ 0

Factorul de jos, x^2 + x + 1, poate fi scris ca (x + 1/2)^2 + 3/4, deci are semnul:

(x + 1/2)^2 + 3/4 > 0


Pentru ca fracția să fie mai mare sau egală cu zero, trebuie ca semnele factorilor de sus și jos să fie aceleași sau ca factorul de jos să fie zero. Deoarece factorul de jos nu poate fi niciodată zero, trebuie să avem semnul factorului de sus pozitiv și semnul factorului de jos pozitiv:


(x - 2)(x + 1) ≤ 0     (1)

(x + 1/2)^2 + 3/4 > 0    (2)


Intervalul de interes este între -1 și 2, deoarece fracția trebuie să fie mai mare sau egală cu zero. 

Prin urmare, soluția inecuației este intervalul format din aceste valori pentru x:


x ∈ [-1, 2]


Verificăm apoi soluția folosind condiția (2). Deoarece expresia din (2) este întotdeauna pozitivă, soluția x ∈ [-1, 2] este adevarata.

Niciun comentariu:

Cauta pe site