Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei log(3)(x^2 - 2x) = log(3)(2x - 3)

Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei log(3)(x^2 - 2x) = log(3)(2x - 3)

Rezolvare

Conditii:

x^2 - 2x > 0

2x - 3 > 0

Pentru ca produsul x(x - 2) să fie mai mare decât zero, trebuie ca x și (x - 2) să fie ambele pozitive sau ambele negative. Așadar, soluțiile inecuației sunt:

x < 0 sau x > 2

2x - 3 > 0

2x > 3

x > 3/2

Soluția acestei inecuații este:

x > 3/2

Pentru a găsi soluția sistemului de inecuații, trebuie să căutăm intersecția soluțiilor celor două inecuații:

x < 0 sau x > 2 și x > 3/2

Soluția sistemului este, deci:

x > 2

x trebuie sa apartina intervalului (2, + infinit)

Acum rezolvam ecuatia:

Putem folosi proprietatea logaritmilor care spune că, pentru orice baza "a" și orice numere pozitive "b" și "c":

log(a)(b) = log(a)(c) <=> b = c

Aplicând această proprietate la ecuația noastră, avem:

log(3)(x^2 - 2x) = log(3)(2x - 3)

x^2 - 2x = 2x - 3

Rearanjând termenii, obținem o ecuație de gradul 2 standard:

x^2 - 4x + 3 = 0

Aceasta poate fi factorizată în:

(x - 3)(x - 1) = 0

Prin urmare, soluțiile ecuației originale sunt x = 1 și x = 3. Este important să verificăm dacă aceste soluții sunt valide, prin înlocuirea lor în ecuația originală și verificarea dacă obținem o identitate:

pentru x = 1 solutia nu este acceptata (nu apartine intervalului (2, + ∞))

pentru x = 3

log(3)((3)^2 - 2(3)) = log(3)(2(3) - 3)

log(3)(3) = log(3)(3)

Ecuația este adevărată.

Prin urmare, soluția reala a ecuației date este x = 3 care apartine intervalului (2, + ∞)