Fie punctele A(2, -1) si B(-1, 3). Sa se determine numerele reale a si b astfel incat AB = ai + bj

Fie punctele A(2, -1) si B(-1, 3). Sa se determine numerele reale a si b astfel incat AB = ai + bj

Rezolvare

Putem folosi formula distanței între două puncte pentru a calcula lungimea segmentului AB:

AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-1 - 2)^2 + (3 - (-1))^2] = √[(-3)^2 + 4^2] = √9 + 16 = √25 = 5

Pentru a avea AB = ai + bj, trebuie să găsim valorile a și b astfel încât vectorul AB să aibă coordonatele (a, b).

Coordonatele vectorului AB sunt date de diferența dintre coordonatele punctului B și cele ale punctului A:

AB = (x2 - x1)i + (y2 - y1)j = (-1 - 2)i + (3 - (-1))j = -3i + 4j

Deci, trebuie să găsim numerele reale a și b astfel încât:

-3i + 4j = ai + bj

Pentru a găsi a și b, putem rezolva sistemul de ecuații:

-3 = a 

4 = b

Dacă înlocuim a cu -3 și b cu 4 în ecuația -3i + 4j = ai + bj, obținem:

-3i + 4j = (-3)i + (4)j

Această ecuație este adevărată pentru orice punct A(2, -1) și B(-1, 3), deoarece coordonatele vectorului AB sunt (-3, 4), adică -3i + 4j. 

Prin urmare, putem concluziona că a = -3 și b = 4 sunt soluțiile sistemului de ecuații -3 = a și 4 = b, iar AB = -3i + 4j.

Astfel, numerele reale a = -3 și b = 4 satisfac condiția dată, astfel încât AB = -3i + 4j.

Exercitii rezolvate Bacalaureat Matematica

Probleme si exercitii rezolvate