Algebra - exercitiu rezolvat 4

Numerele $a_{0}, a_{1} ... a_{n}$ verifica conditia:

$\frac{a_{0}}{1}+ \frac{2a_{1}}{2} + \frac{2^{2}a_{2}}{3} + ... + \frac{2^{n}a_{n}}{n+1} = 0$

Sa se arate ca functia $f : [1, e^{2}]$ -> R, 

$f(x) = a_{0} + a_{1} ln x + a_{2} ln^{2} x + ... + a_{n} ln^{n} x$ 

are cel putin un zero in intervalul $(1, e^{2})$.

Rezolvare

Consideram functia: $g : [1, e^{2}] -> R$

$g_{(x)} = \frac {a_0 ln x}{1} + \frac {a_1 ln^{2} x}{2}+ ... +\frac {a_n ln^{n+1} x}{n+1} $


este derivabila pe $(1, e^{2})$, continua pe $[1, e^{2}]$ si $g(1) = g(e^{2}) = 0$


Conform teoremei lui Rolle exista c ⋹ $(1, e^{2})$ astfel incat $g'(c) = 0$ 

sau

$a_{0}+ a_{1}ln c + a_{2} ln^{2} c + ... + a_{n} ln^{n} c = 0$

Sirul lui Rolle

Exercitii rezolvate Algebra

Exercitii si probleme rezolvate