Trunchiul de piramida este formata din:
AB - Muchia bazei mari
A'B' - Muchia bazei mici
OO' - Inaltime (not. h)
AA' - Muchia laterala OM - Apotema bazei mari (not. aB)
O'M' - Apotema bazei mici (not. ab)
MM' - Apotema trunchiului de piramida (not. at)
Aria laterala, aria totala si volumul trunchiului de piramida
$$A_{lat} = \frac{P_{B} + P_b \cdot a_t}{2}$$
$$A_{tot} = A_{B} + A_{b} + A_{lat}$$
$$V_{tp} = \frac{h}{3}(A_{B} + A_{b} + \sqrt{A_{B} \cdot A_{b}})$$
$unde:$
$A_{lat} = aria \ laterala;$
$P_{b} = perimetrul \ bazei \ mici;$
$P_{B} = perimetrul \ bazei \ mari;$
$a_{t} = apotema;$
$A_{tot} = aria \ totala;$
$A_{B} = aria \ bazei \ mari;$
$A_{b} = aria \ bazei \ mici;$
$V_{tp} = volumul \ trunchiului \ de \ piramida;$
$h = inaltimea$
Ariile bazelor si perimetrele bazelor se calculeaza in functie de natura bazelor (triunghi, patrulater etc.), iar la piramida regulata in functie de baza (exemplu: patrat sau triungi echilateral) se pot calcula cu ajutorul formulelor:
Trunchiul de piramida patrulatera regulata (cu baza patrat)
$P_{b} = 4 \cdot l$
$A_{b} = l^{2}$
$P_{b} \ si \ A_{b} = perimetrul \ si \ aria \ patratului$
Trunchi de piramida triunghiulara regulata (cu baza triunghi echilateral)
$P_{b} = 3 \cdot l$
$A_{b} = \frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$
$P_{b} \ si \ A_{b} = perimetrul \ si \ aria \ triungiului \ echilateral$
Problema rezolvata cu trunchiul de piramida
Avem un trunchi de piramidă regulată cu baza pătrată. Lungimea laturii bazei mari a trunchiului de piramidă este de 8 cm, lungimea laturii bazei mici este de 4 cm, iar înălțimea trunchiului de piramidă este de 10 cm. Calculați aria laterală, aria totală și volumul acestui trunchi de piramidă.
Rezolvare
Aria laterală (A_laterală):
Folosind formula: A_laterală = (LBM + LBM + l + l) * h, în care LBM reprezintă lungimea bazei mari, l reprezintă lungimea unei laturi laterale și h reprezintă înălțimea trunchiului de piramidă, înlocuim valorile date:
A_laterală = (8 + 8 + 4 + 4) * 10 = 24 * 10 = 240 cm^2
Deci, aria laterală a acestui trunchi de piramidă este de 240 cm^2.
Aria totală (A_totală):
Folosind formula: A_totală = A_laterală + (LBM^2 + LBM * LBM + l^2 + l * l), înlocuim valorile date:
A_totală = 240 + (8^2 + 8 * 8 + 4^2 + 4 * 4) = 240 + (64 + 64 + 16 + 16) = 240 + 160 = 400 cm^2
Deci, aria totală a acestui trunchi de piramidă este de 400 cm^2.
Volumul (V):
Folosind formula: V = (1/3) * h * (LBM^2 + LBM * LBM + l^2 + l * l), înlocuim valorile date:
V = (1/3) * 10 * (8^2 + 8 * 8 + 4^2 + 4 * 4) = (1/3) * 10 * (64 + 64 + 16 + 16) = (1/3) * 10 * 160 = 53.33 cm^3
Deci, volumul acestui trunchi de piramidă este de aproximativ 53.33 cm^3.
Astfel, am calculat aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de piramidă cu baza pătrată în problema dată.