Pe un plan inclinat de unghi α (fig.1) se lasa liber ...

Pe un plan inclinat de unghi α (fig.1) se lasa liber din punctul cel mai inalt al planului un corp rotund si omogen (cilindru, sfera) de masa m, raza R si moment de inertie I.
Se cer:
a) forta de frecare si coeficientul de frecare minim dintre corp si plan astfel incat sa se rostogoleasca fara sa alunece pe plan;
b) acceleratia cu care se deplaseaza corpul pe plan;
c) acceleratia unghiulara

fig. 1

a) Pentru ca intre corp si planul inclinat sa nu existe alunecare trebuie indeplinite conditiile:

mg sin α - Ff = ma

mg cos α – N = 0

Ff*R = Iε

a = εR

Legenda
Ff = forta de frecare
I = moment de inertie
R = raza
m = masa
a = acceleratia
ε = acceleratia unghiulara

De unde rezulta:
ε = a / R din ultima relatie si
Ff*R = I * (a / R) => Ff = I * (a / R²) sau a = Ff * (R² / I)

Inlocuind in prima ecuatie:

mg sin α – Ff = mFf (R² / I) rezulta ca:
mg sin α = Ff [1 + (mR² / I)];
Ff = {(mg sin α) / [1 + (mR2 / I)]}

Iar pentru conditia de nealunecare:

Ff < µ N = µmg cos α, adica:
µ > tg α / [1 + (mR² / I)]
sau
tg α < µ [1 + (mR² / I)]
b) Din relatiile de mai sus: a = (g sin α) / [1 + (I / mR²)]

c) ε = a / R = (g sin α) / [R + (RI / mR²)] = (g sin α) / [R + (I / mR)]