FUNCŢIE CONTINUĂ într-un punct x0ÎA (domeniul de definiţie al funcţiei) este dacă are proprietatea ca:
O funcție continuă este o funcție matematică pentru care există o corespondență între valorile sale și întregul său domeniu, astfel încât orice mică variație a intrării în funcție produce o mică variație a ieșirii.
Definiție: Fie f o funcție definită pe un interval I de numere reale. Funcția f este continuă într-un punct a din I dacă și numai dacă limitele laterale ale f în punctul a există și sunt egale cu valoarea funcției în acel punct. Cu alte cuvinte:
$f(a) = lim┬(x→a⁻) f(x) = lim┬(x→a⁺) f(x) = lim┬(x→a) f(x)$
unde:
lim┬(x→a⁻) f(x) reprezintă limita stângă a funcției f în punctul a
lim┬(x→a⁺) f(x) reprezintă limita dreaptă a funcției f în punctul a
lim┬(x→a) f(x) reprezintă limita funcției f în punctul a.
Formula pentru continuitatea unei funcții într-un interval I este următoarea: o funcție f este continuă pe intervalul I dacă și numai dacă este continuă în fiecare punct din I.
Exemplu 1
Fie funcția f(x) = 2x + 1. Această funcție este continuă pe întregul său domeniu, adică pe toate numerele reale. Indiferent de punctul ales în domeniul său, limita funcției în acel punct va fi egală cu valoarea funcției în acel punct.Pentru a exemplifica continuitatea funcției f(x) = 2x + 1, să luăm un punct arbitrar din domeniul său și să calculăm limita funcției în acel punct.
Luăm punctul x = 3 și vom calcula limita funcției f(x) când x se apropie de 3.
$lim┬(x→3) f(x) = lim┬(x→3) (2x + 1)$
Putem calcula această limită înlocuind x cu valoarea apropiată de 3:
$lim┬(x→3) (2x + 1) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$
Astfel, limita funcției f(x) când x se apropie de 3 este egală cu 7.
De asemenea, putem verifica direct că valoarea funcției în punctul x = 3 este, de asemenea, 7:
$f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$
Astfel, limita funcției și valoarea funcției în punctul x = 3 coincid, ceea ce demonstrează că funcția f(x) = 2x + 1 este continuă în punctul x = 3.
Aceeași demonstrație poate fi realizată pentru orice alt punct ales în domeniul funcției f(x) = 2x + 1. Indiferent de punctul selectat, limita funcției în acel punct va fi egală cu valoarea funcției în acel punct, confirmând continuitatea funcției pe întregul său domeniu.
Exemplu 2
Fie funcția g(x) = x^2. Această funcție este continuă pe întregul său domeniu, adică pe toate numerele reale. Indiferent de punctul ales în domeniul său, limita funcției în acel punct va fi egală cu valoarea funcției în acel punct.Să exemplificăm continuitatea funcției g(x) = x^2 prin calcule pentru un punct ales în domeniul său.
Luăm punctul x = 2 și vom calcula limita funcției g(x) când x se apropie de 2.
$lim┬(x→2) g(x) = lim┬(x→2) x^2$
Pentru a calcula această limită, putem simplifica expresia folosind proprietățile puterilor:
$lim┬(x→2) x^2 = 2^2 = 4$
Astfel, limita funcției g(x) când x se apropie de 2 este egală cu 4.
De asemenea, putem verifica direct că valoarea funcției în punctul x = 2 este, de asemenea, 4:
$g(2) = 2^2 = 4$
Astfel, limita funcției și valoarea funcției în punctul x = 2 coincid, ceea ce demonstrează că funcția g(x) = x^2 este continuă în punctul x = 2.
Acest proces poate fi repetat pentru orice alt punct ales în domeniul funcției g(x) = x^2, și rezultatul va fi același: limita funcției și valoarea funcției în acel punct vor coincide, demonstrând continuitatea funcției pe întregul său domeniu.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu