Teorema lui Cauchy

Teorema lui Cauchy definitie, formula de calcul si exemple:

Afirmă că pentru orice funcție analitică $f(z)$ definită într-un domeniu $\Omega$ care este închis și simplu conex, integrala curbilinie a lui $f$ pe orice curbă închisă aflată în $\Omega$ este egală cu zero:

$\oint_\gamma f(z)\,dz=0$

unde $\gamma$ este orice curbă închisă simplă din $\Omega$, iar integrala este integrala curbilinie a lui $f$ pe $\gamma$.

Această teoremă este valabilă pentru funcții analitice într-un domeniu simplu conex, precum și pentru funcții meromorfe (care sunt analitice, cu excepția unui număr finit de puncte singulare).

De exemplu, să considerăm funcția $f(z)=\frac{1}{z^2-1}$ și să calculăm integrala curbilinie a lui $f$ de-a lungul cercului unitate $|z|=1$.

Deoarece funcția $f$ are două singularități în $z=1$ și $z=-1$, care sunt în interiorul cercului unitate, trebuie să folosim teorema lui Cauchy pentru a calcula această integrală. Prin urmare, avem:

$\oint_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k=1}^n Res(f,a_k)$

deoarece cercul unitate este o curbă închisă simplă și conexă care conține ambele singularități ale funcției $f$.

Așadar, teorema lui Cauchy ne permite să concluzionăm că integrala curbilinie a lui $f$ de-a lungul cercului unitate este zero.

Teorema valorii medii pentru funcții continue și derivate pe un interval închis. 

Formula de calcul:

Dacă $f$ este o funcție continuă pe intervalul închis $[a,b]$, derivabilă pe intervalul deschis $(a,b)$ și $g$ este o funcție derivabilă pe intervalul $(a,b)$ cu $g'(x) \neq 0$ pentru orice $x \in (a,b)$ și $g(a) \neq g(b)$, atunci există un punct $c \in (a,b)$ astfel încât:

$$f(b)-f(a)=f'(c)(g(b)-g(a))$$

sau, echivalent:

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=f'(c)$$

Această teoremă afirmă că există cel puțin un punct $c$ pe intervalul deschis $(a,b)$ unde panta tangentei la graficul funcției $f$ este egală cu panta dreptei care trece prin punctele $(a,f(a))$ și $(b,f(b))$. Acesta este motivul pentru care teorema mai este numită și Teorema valorii medii.

Un exemplu de aplicare a teoremei este următorul: Fie $f(x)=x^2$ și $g(x)=x$ pe intervalul închis $[0,1]$. Atunci $f$ și $g$ sunt continue pe $[0,1]$, derivabile pe $(0,1)$, $g'(x)=1$ pentru orice $x \in (0,1)$ și $g(0)=0 \neq g(1)$. Deci, există un punct $c \in (0,1)$ astfel încât:

$$f(b)-f(a)=f'(c)(g(b)-g(a))$$ 

sau, echivalent: 

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=f'(c)$$

Deci există cel puțin un punct $c \in (0,1)$ unde panta tangentei la graficul funcției $f(x)=x^2$ este $1$.

f, g : [a, b] -> R