Sa se demonstreze ca ecuatia x^2 - 2x + 1 + a^2 = 0 nu admite solutii reale, oricare ar fi a ⋹ R*

Sa se demonstreze ca ecuatia x^2 - 2x + 1 + a^2 = 0 nu admite solutii reale, oricare ar fi a ⋹ R*

Rezolvare

Pentru a demonstra că ecuația dată x^2 - 2x + 1 + a^2 = 0 nu admite soluții reale, trebuie să arătăm că discriminantul său este întotdeauna strict mai mare decât zero, indiferent de valoarea lui "a".

Discriminantul unei ecuații de forma ax^2 + bx + c = 0 este dat de formula Δ = b^2 - 4ac, unde "a", "b" și "c" sunt coeficienții ecuației.

În cazul ecuației noastre, avem a = 1, b = -2 și c = 1 + a^2, așa că putem substitui aceste valori în formula discriminantului:

Δ = (-2)^2 - 4 * 1 * (1 + a^2)

Δ = 4 - 4 * (1 + a^2)

Δ = 4 - 4 - 4a^2

Δ = -4a^2

Observăm că termenul "-4a^2" este întotdeauna negativ sau nul, deoarece este rezultatul înmulțirii unei valori negative sau nule (a^2) cu un coeficient negativ (-4).

Astfel, putem concluziona că discriminantul Δ este întotdeauna mai mic sau egal cu zero, adică Δ ≤ 0, pentru oricare valoare a lui "a" din mulțimea numerelor reale. 

Aceasta înseamnă că ecuația x^2 - 2x + 1 + a^2 = 0 nu poate avea soluții reale, deoarece discriminantul său este întotdeauna negativ sau nul.