Se considera functia f:R->R, f(x)=(m^2 - 1)x + m + 1. Sa se arate ca f(x)≥-1/4, oricare ar fi m ⋹ R

Se considera functia f:R->R, f(x)=(m^2 - 1)x + m + 1. Sa se arate ca f(x)≥-1/4, oricare ar fi m ⋹ R.


Rezolvare


Pentru a arăta că f(x)≥-1/4 pentru orice m ⋹ R, trebuie să demonstrăm că există o valoare minimă pentru f(x) și că această valoare minimă este mai mare sau egală cu -1/4.


Pentru a găsi valoarea minimă a lui f(x), putem să luăm în considerare f'(x), derivata lui f(x):

f'(x) = m^2 - 1


Deoarece m^2 este întotdeauna pozitiv sau zero, f'(x) este întotdeauna mai mare sau egală cu -1. Prin urmare, f(x) este o funcție crescătoare în raport cu x.


Pentru a găsi valoarea minimă a lui f(x), trebuie să luăm în considerare limita lui f(x) când x se apropie de minus infinit. Pentru x suficient de negativ, putem neglija termenii x în comparație cu termenii constanți din f(x), iar valoarea minimă se obține când x se apropie de minus infinit.


Așadar, avem:

f(x) = (m^2 - 1)x + m + 1

≥ (m^2 - 1)x - 1/4 + 1/4 + m + 1 (adică adăugăm și scădem 1/4)

= (m^2 - 1)x + (m + 1/2)^2

≥ -1/4 + (m + 1/2)^2


Ultima inegalitate se obține prin faptul că termenul (m^2 - 1)x este mai mare sau egal cu zero, deoarece m^2 - 1 este întotdeauna pozitiv sau zero, iar x poate fi orice număr real. Prin urmare, putem spune că f(x)≥ -1/4 + (m + 1/2)^2.


În concluzie, pentru orice valoare a lui m ⋹ R, f(x) este mai mare sau egală cu -1/4 + (m + 1/2)^2. Aceasta înseamnă că f(x) nu poate fi mai mică decât -1/4 pentru nicio valoare a lui m ⋹ R, deoarece (m + 1/2)^2 este întotdeauna mai mare sau egal cu zero. Prin urmare, am arătat că f(x)≥-1/4, oricare ar fi m ⋹ R

Niciun comentariu:

Cauta pe site