Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei log(3)(x^2 - 2x) = log(3)(2x - 3)
Rezolvare
Conditii:
x^2 - 2x > 0
2x - 3 > 0
Pentru ca produsul x(x - 2) să fie mai mare decât zero, trebuie ca x și (x - 2) să fie ambele pozitive sau ambele negative. Așadar, soluțiile inecuației sunt:
x < 0 sau x > 2
2x - 3 > 0
2x > 3
x > 3/2
Soluția acestei inecuații este:
x > 3/2
Pentru a găsi soluția sistemului de inecuații, trebuie să căutăm intersecția soluțiilor celor două inecuații:
x < 0 sau x > 2 și x > 3/2
Soluția sistemului este, deci:
x > 2
x trebuie sa apartina intervalului (2, + infinit)
Acum rezolvam ecuatia:
Putem folosi proprietatea logaritmilor care spune că, pentru orice baza "a" și orice numere pozitive "b" și "c":
log(a)(b) = log(a)(c) <=> b = c
Aplicând această proprietate la ecuația noastră, avem:
log(3)(x^2 - 2x) = log(3)(2x - 3)
x^2 - 2x = 2x - 3
Rearanjând termenii, obținem o ecuație de gradul 2 standard:
x^2 - 4x + 3 = 0
Aceasta poate fi factorizată în:
(x - 3)(x - 1) = 0
Prin urmare, soluțiile ecuației originale sunt x = 1 și x = 3. Este important să verificăm dacă aceste soluții sunt valide, prin înlocuirea lor în ecuația originală și verificarea dacă obținem o identitate:
pentru x = 1 solutia nu este acceptata (nu apartine intervalului (2, + ∞))
pentru x = 3
log(3)((3)^2 - 2(3)) = log(3)(2(3) - 3)
log(3)(3) = log(3)(3)
Ecuația este adevărată.
Prin urmare, soluția reala a ecuației date este x = 3 care apartine intervalului (2, + ∞)
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu