Fie functia f : R -> R, f(x) = mx^2 - 8x - 3 unde m este ...

Fie functia $f : R -> R, f(x) = mx^2 - 8x - 3$ unde m este un numar real nenul. Sa se determine m stiind ca valoarea maxima a functiei f este egala cu 5.

Rezolvare

Conditie:

$m < 0 => m \ ⋹ \ (- ∞, 0)$

Valoarea maximă a unei funcții de tipul $f(x) = ax^2 + bx + c$ este dată de formula:

$f_{max} = -\frac{Δ}{4a}$

unde Δ reprezintă discriminantul ecuației de gradul doi asociată funcției, adică:

$Δ = b^2 - 4ac$

În cazul funcției noastre, avem:

$f(x) = mx^2 - 8x - 3$

$a = m$

$b = - 8$

$c = - 3$

deci:

$Δ = (-8)^2 - 4m(- 3) =>$

$Δ = 64 + 12 m$

Pentru ca valoarea maximă a funcției să fie egală cu 5, trebuie să avem:

$f_{max} = -\frac{Δ}{4a} = 5$

$-\frac{Δ}{4a} = 5$

$Δ = - 20a$

Înlocuind expresia pentru Δ, obținem:

$- 64 - 12m = - 20m$

$- 12m - 20m = 64$

$- 32m = 64$

$- m = 64 / 32   /\cdot (-1)$

$m = - 2$

Prin urmare, valoarea lui m pentru care valoarea maximă a funcției este egală cu 5 este m = - 2.

Exercitii rezolvate Bacalaureat Matematica