Fie functia $f : R -> R, f(x) = mx^2 - 8x - 3$ unde m este un numar real nenul. Sa se determine m stiind ca valoarea maxima a functiei f este egala cu 5.
Rezolvare
Conditie:
$m < 0 => m \ ⋹ \ (- ∞, 0)$
Valoarea maximă a unei funcții de tipul $f(x) = ax^2 + bx + c$ este dată de formula:
$f_{max} = -\frac{Δ}{4a}$
unde Δ reprezintă discriminantul ecuației de gradul doi asociată funcției, adică:
$Δ = b^2 - 4ac$
În cazul funcției noastre, avem:
$f(x) = mx^2 - 8x - 3$
$a = m$
$b = - 8$
$c = - 3$
deci:
$Δ = (-8)^2 - 4m(- 3) =>$
$Δ = 64 + 12 m$
Pentru ca valoarea maximă a funcției să fie egală cu 5, trebuie să avem:
$f_{max} = -\frac{Δ}{4a} = 5$
$-\frac{Δ}{4a} = 5$
$Δ = - 20a$
Înlocuind expresia pentru Δ, obținem:
$- 64 - 12m = - 20m$
$- 12m - 20m = 64$
$- 32m = 64$
$- m = 64 / 32 /\cdot (-1)$
$m = - 2$
Prin urmare, valoarea lui m pentru care valoarea maximă a funcției este egală cu 5 este m = - 2.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu