Teorema lui Pitagora (demonstratie)

Teorema sustine ca in orice triunghi dreptunghic, suma patratelor catetelor este egala cu patratul ipotenuzei.

Aceasta teorema este o relație geometrică fundamentală între laturile unui triunghi dreptunghic.

Demonstratia Teoremei lui Pitagora:

In triunghiul ABC dreptunghic in unghiul C, cu latura AC perpendiculara pe lacuta CB.

Notam cu a și cu b lungimile catetelor triunghiului dreptunghic iar cu c lungimea ipotenuzei acestuia, atunci conform teoremei rezulta ca:

$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$

Teorema lui Pitagora demonstratie video

In aceasta demonstratie creativă video se arata cum pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor unui triunghi:

Explicatia:

Presupunem că avem un triunghi dreptunghic cu laturile lungimile de 3 cm, 4 cm și ipotenuza cu lungimea de 5 cm.

Construim un pătrat cu latura de 5 cm. Acest patrat are aria de $5^{2} = 25 \ cm$. 

Apoi, construim patratele cu laturile cu lungimile de 3 cm și respectiv 4 cm pe celelalte două laturi ale triunghiului. Aceste patrate au ariile $3^{2}\ cm \ si \ respectiv\ 4^{2} \ cm$.

fig.1

Acum, dupa cum observam in desenul din fig.1, patratele cu laturile cu lunigimile de 3 cm și 4 cm acoperă o suprafață egală cu pătratul cu latura cu lungimea de 5 cm, deoarece acestea formează triunghiul dreptunghic.

Deci, $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ ceea ce demonstrează teorema lui Pitagora.

Aceasta este o demonstratie geometrică intuitivă. Există și alte modalități de a demonstra această teoremă, inclusiv folosind concepte de geometrie analitică sau chiar trigonometrie.

Reciproca Teoremei lui Pitagora

Reciproca teoremei este adevarata: oricare ar fi trei numere pozitive a, b, c astfel încât a² + b² = c² , există un triunghi cu laturile de lungimi a,b, c, iar unghiul dintre laturile de lungimi a și b va fi drept.

Problema rezolvata

Fie triunghiul ABC dreptunghic in A in care stim ca: 

lungimea laturii $AB = 10 \ cm;$

lungimea laturii $AD = 5\sqrt{3} \ cm;$

latura $AD$ este perpendiculara pe latura $BC$

Trebuie sa aflam lungimea laturilor BD, BC si AC.

Rezolvare

1. Aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul ABD pentru a afla lungimea laturii BD:

$BD^{2} = AB^{2} - AD^{2}$

$BD^{2} = 100 - 75$

$BD^{2} = 25$

$BD^{2} = \sqrt{25}$

$\boxed{BD = 5 \ cm}$

2. Aplicam Teorema Catetei pentru cateta AB pentru a afla lungimea laturii BC:

$AB^{2} = BD \cdot BC$

$100 = 5 \cdot BC$

$BC = \frac{100}{5}$

$\boxed{BC = 20 \ cm}$

3. Prin aplicarea Teoremei lui Pitagora in triunghiul ABC aflam lungimea laturii AC :

$AC^{2} = BC^{2} \cdot AB^{2}$

$AC^{2} =400 - 100$

$AC^{2} = 300$

$AC = \sqrt{300}$

$\boxed{AC = 20 \sqrt{3} \ cm}$