Ex: formula puteri, formule analiza financiara, inmultirea radicalilor exercitii rezolvate
Custom Search

Multimi, exemple, operatii cu multimi

O multime este o colectie de obiecte (numite si elementele multimii) de natura oarecare, bine determinate si bine distincte.

-> A, B, C,… notatii pentru multimi;
-> a, b, c, … x, y, z, … notatii pentru elementele multimilor
-> xÎA “x apartine multimii A"
-> xÏA “x nu apartine multimii A"
-> pot fi finite (ex. 6,7,8,9,10) sau infinite (1,2,3,4,5,11,12,13,14).




Exemple de multimi:


1.        |N = {0, 1, 2, 3, …}- multimea numerelor naturale;
2.        Z = {…, -3, -2, 0, 1, 2, 3, …}- multimea numerelor intregi; 

3.



  
4.        |R \ |Q – multimea numerelor irationale;
5.        |R = (-¥,¥) - multimea numerelor reale;
6.        Æ - multimea vida;
7.        [a,b]={xÎ|R | a£x£b}- interval inchis ;
8.        [a,b)= {xÎ|R | a£x<b}- interval inchis la stanga si deschis la dreapta;
9.   (a,b]= {xÎ|R | a<x£b}- interval deschis la stanga si inchis la dreapta;
10.  (a,b)= {xÎ|R | a<x<b}- interval deschis;
11. [a, ¥)={xÎ|R | a£x} - interval inchis la stanga si nemarginit la dreapta;
12.  (-¥,a]= {xÎ|R | x£a} - interval nemarginit la stanga si inchis la dreapta;
13.  (a,¥)= {xÎ|R | a<x} - interval deschis la stanga si nemarginit la dreapta;
14.  (-¥,a)= {xÎ|R | x<a} - interval nemarginit la stanga si deschis la dreapta.




Multimi egale:

A=B - dacă orice element al lui A aparţine şi lui B şi reciproc.

Proprietati: 
a)       reflexiva A=A;
b)       simetrica daca A=B atunci B=A;
c)     tranzitiva daca A=B şi B=C atunci A=C


Multime simetrica: AÌ|R daca "xÎAÞ -xÎA.


Relatia de incluziune AÌB – daca orice element al lui A este si element al lui B.
AÌB “A este inclusa in B” sau “B contine pe A” sau “A este submultime a lui B” sau “A este o parte a lui B”;
AËB “A nu este inclusa în B” - $xÎA  astfel incat xÏB;
P(A)= {X|  XÌA} multimea partilor unei multimi A.

Proprietaţi:
a)       reflexiva AÌA;
b)       antisimetrica daca AÌB şi BÌA atunci B=A;
c)       tranzitiva daca AÌB şi BÌC atunci AÌC.


Operatii cu multimi:
1)       AÇB={x | xÎA şi xÎB}- intersectia;
  AÇB= Æ ,  A şi B disjuncte;

2)       AÈB={x | xÎA sau xÎB}- reuniunea;
3)       CEA={xÎE | xÏA, EÌA}- complementara lui A in raport cu E;
4)     A–B={x | xÎA şi xÏB}- diferenta
5)     ADB={(A-B)È(B-A)} diferenta simetrica;
6)     AxB={(x,y) | xÎA şi yÎB}- produs cartezian;
AxA=A2;
 (x,y) – pereche ordonata sau cuplu;
 x – prima componenta;
y – a doua componenta.


Proprietati:


a )      AÈ(BÈC)=(AÈB) ÈC – asociativitatea reuniunii;
b )     AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC – asociativitatea intersectiei;
c )      AD(BDC)=(ADB)DC – asociativitatea diferentei simetrice;
d )     AÈB=BÈA – comutativitatea reuniunii;
e )      AÇB=BÇA – comutativitatea intersectiei;
f )       ADB=BDA – comutativitatea diferentei simetrice;
g )     AÈA=A – idempotenta reuniunii;
h )     AÇA=A – idempotenta intersectiei;
i )       ADA=Æ;
j )       AÈÆ=A;
k )      AÇÆ=Æ;
l )       ADÆ=A;
m)   AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC) – distributivitatea reuniunii fata de intersectie;
n)      AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC) – distributivitatea intersectiei fata de reuniune;
o )     AÌE, BÌE Þ CE(AÈB)=CEAÇCEB – formula lui de Morgan;
p )      AÌE, BÌE Þ CE(AÇB)=CEAÈCEB – formula lui de Morgan;
q )     AÌE Þ CE(CEA)=A;
r )      A-B=CA(AÇB);
s )     A-(BÈC)=(A-B)-C;
t )     A-(BÇC)=(A-B)È(A-C);
u )     (AÈB)-C=(A-C)È(B-C);
v)       (AÇB)-C=AÇ(B-C)=(A-C)ÇB;
w )     Ax(BÈC)=(AxB)È(AxC);
x)      Ax(BÇC)=(AxB)Ç(AxC);
y)   Ax(B-C)=AxB-AxC.

Niciun comentariu: