Multimi, exemple, operatii cu multimi

O multime este o colectie de obiecte (numite si elementele multimii) de natura oarecare, bine determinate si bine distincte.

-> A, B, C,… notatii pentru multimi;
-> a, b, c, … x, y, z, … notatii pentru elementele multimilor
-> xÎA “x apartine multimii A"
-> xÏA “x nu apartine multimii A"
-> pot fi finite (ex. 6,7,8,9,10) sau infinite (1,2,3,4,5,11,12,13,14....).

Exemple de multimi

1. |N = {0, 1, 2, 3, …}- multimea numerelor naturale;

2. Z = {…, -3, -2, 0, 1, 2, 3, …}- multimea numerelor intregi; 

3. |Q = {$\frac{m}{n}|m, n, ⋹ Z; n ≠ 0$} - multimea numerelor rationale;

4. |R \ |Q – multimea numerelor irationale;

5.        |R = (-¥,¥) - multimea numerelor reale;

6.        Æ - multimea vida;

7.        [a,b]={xÎ|R | a£x£b}- interval inchis ;

8.        [a,b)= {xÎ|R | a£x<b}- interval inchis la stanga si deschis la dreapta;

9.   (a,b]= {xÎ|R | a<x£b}- interval deschis la stanga si inchis la dreapta;

10.  (a,b)= {xÎ|R | a<x<b}- interval deschis;

11. [a, ¥)={xÎ|R | a£x} - interval inchis la stanga si nemarginit la dreapta;

12.  (-¥,a]= {xÎ|R | x£a} - interval nemarginit la stanga si inchis la dreapta;

13.  (a,¥)= {xÎ|R | a<x} - interval deschis la stanga si nemarginit la dreapta;

14.  (-¥,a)= {xÎ|R | x<a} - interval nemarginit la stanga si deschis la dreapta.

Multimi egale

A = B - dacă orice element al lui A aparţine şi lui B şi reciproc.

Proprietati: 

a) reflexiva A = A;

b) simetrica daca A = B atunci B = A;

c) tranzitiva daca A = B şi B = C atunci A = C;

Multime simetrica: AÌ|R daca "xÎAÞ -xÎA.

Relatia de incluziune AÌB – daca orice element al lui A este si element al lui B.

AÌB “A este inclusa in B” sau “B contine pe A” sau “A este submultime a lui B” sau “A este o parte a lui B”;

AËB “A nu este inclusa în B” - $xÎA  astfel incat xÏB;

P(A)= {X|  XÌA} multimea partilor unei multimi A.

Operatii cu multimi

1)       AÇB={x | xÎA şi xÎB}- intersectia;

  AÇB= Æ ,  A şi B disjuncte;

2)       AÈB={x | xÎA sau xÎB}- reuniunea;

3)       C_EA={xÎE | xÏA, EÌA}- complementara lui A in raport cu E;

4)     A–B={x | xÎA şi xÏB}- diferenta

5)     ADB={(A-B)È(B-A)} diferenta simetrica;

6)     AxB={(x,y) | xÎA şi yÎB}- produs cartezian;

AxA=A²;

 (x,y) – pereche ordonata sau cuplu;

 x – prima componenta;

y – a doua componenta.

Proprietati

a )      AÈ(BÈC)=(AÈB) ÈC – asociativitatea reuniunii;

b )     AÇ(BÇC)=(AÇB)ÇC – asociativitatea intersectiei;

c )      AD(BDC)=(ADB)DC – asociativitatea diferentei simetrice;

d )     AÈB=BÈA – comutativitatea reuniunii;

e )      AÇB=BÇA – comutativitatea intersectiei;

f )       ADB=BDA – comutativitatea diferentei simetrice;

g )     AÈA=A – idempotenta reuniunii;

h )     AÇA=A – idempotenta intersectiei;

i )       ADA=Æ;

j )       AÈÆ=A;

k )      AÇÆ=Æ;

l )       ADÆ=A;

m)   AÈ(BÇC)=(AÈB)Ç(AÈC) – distributivitatea reuniunii fata de intersectie;

n)      AÇ(BÈC)=(AÇB)È(AÇC) – distributivitatea intersectiei fata de reuniune;

o )     AÌE, BÌE Þ C_E(AÈB)=C_EAÇC_EB – formula lui De Morgan;

p )      AÌE, BÌE Þ C_E(AÇB)=C_EAÈC_EB – formula lui De Morgan;

q )     AÌE Þ C_E(C_EA)=A;

r )      A-B=C_A(AÇB);

s )     A-(BÈC)=(A-B)-C;

t )     A-(BÇC)=(A-B)È(A-C);

u )     (AÈB)-C=(A-C)È(B-C);

v)       (AÇB)-C=AÇ(B-C)=(A-C)ÇB;

w )     Ax(BÈC)=(AxB)È(AxC);

x)      Ax(BÇC)=(AxB)Ç(AxC);

y)   Ax(B-C)=AxB-AxC.