Piramida patrulatera regulata formule
Avem elementele piramidei:
AB - muchia bazei(not. $m$)
VA - muchia laterala(not. $l$)
VO - inaltimea piramidei (not. $h$)
VM - apotema laterala sau apotema piramidei (not. $a_{l}$)
Vom discuta decat de corpuri regulate, deci si piramida este regulatã
problema rezolvata apotema piramidei patrulatere regulate
Aria laterala formula
$$A_{laterala} = \frac{P_{b} \cdot a_{l}}{2}$$
Aria bazei formula
$$A_{bazei} = \frac{P_{b} \cdot a_{b}}{2}$$
unde: $P_{b}$ este perimetrul bazei, $a_{b}$ = apotema bazeiAria totala formula
$$A_{t} = A_{l} + A_{bazei}$$
Volumul formula
$$V_{p}=\frac{A_{b} \cdot h}{3}$$
unde: $A_{b}$ = aria bazei; $h$ = inaltimea piramidei.
Nota:Tetraedrul poate fi considerat o piramida care are ca baza un triunghi, aria si volumul calculandu-se analog.
Problema rezolvata cu piramida patrulatera regulata
Avem o piramidă patrulateră regulată, în care latura bazei AB are o lungime de 8 cm și înălțimea piramidei VO măsoară 12 cm. Determinați aria totală $(A_{t})$ și volumul piramidei $V_{p}$.
Rezolvare
Stim ca baza piramidei este un patrat.
Pentru a rezolva problema, vom calcula mai întâi aria totală și apoi volumul piramidei.
Aria totală $(A_{t})$:
Aria totala = aria laterala + aria bazei
$$A_{t} = A_{l} + A_{b}$$
a) Aria laterala $(A_{l})$:
$$A_{l} = \frac{P_{b} \cdot a_{l}}{2}$$
Pentru a calcula aria suprafeței laterale, trebuie să găsim perimetrul bazei și apotema laterală.
Baza este un patrat, deci perimetrul patratului este:
$P_{b} = 4 \cdot \ latura$
$P_{b} = 4 \cdot 8 \ cm$
$P_{b} = 32 \ cm$
Apotema_laterala (VM) $a_{l}$:
Putem utiliza teorema lui Pitagora pentru a calcula apotema laterală VM astfel:
$VM^{2} = VO^{2} + OM^{2}$
$VM^{2} = 12 cm^{2} + (\frac{AB}{2})^2 =>$
$VM^{2} = 12 cm^{2} + (\frac{8 cm}{2})^{2} =>$
$VM^{2} = 12 cm^{2} + 16 cm^{2} = 28 cm^{2} =>$
$VM = √28 cm$
$VM = 5,29 cm$
Inlocuim perimetrul bazei si apotema laterala in formula si rezulta:
$$A_{l} = \frac{P_{b} \cdot a_{l}}{2}$$
$$A_{l} = \frac{32 \ cm \cdot \sqrt{28} \ cm}{2}$$
$$A_{l} = \frac{32 \ cm \cdot 5,29 \ cm}{2}$$
$$\boxed{A_{l} = 84,16 \ cm^{2}}$$
b) Aria bazei $(A_{bazei})$:
$$A_{bazei} = \frac{P_{b} \cdot a_{b}}{2}$$
Am aflat mai sus perimetrul bazei $(P_{b})$:
$P_{b} = 32 \ cm$
Aflam apotema bazei $(a_{b})$:
Baza fiind patrat, apotema este jumatate din latura:
$a_{b} = latura : 2$
$a_{b} = 8 : 2$
$a_{b} = 4 \ cm$
Inlocuim perimetrul bazei si apotema in formula si aflam aria bazei piramidei:
$$A_{bazei} = \frac{P_{b} \cdot a_{b}}{2}$$
$$A_{bazei} = \frac{32 \ cm \cdot 4 \ cm}{2}$$
$$A_{bazei} = 32 \ cm^{2}\cdot 2$$
$$\boxed{A_{bazei} = 64 \ cm^{2}}$$
Acum inlocuim $a_{l}$ si $A_{bazei}$ a piramidei in formula si aflam aria totala a piramidei:
c) Aria totală $A_{t}$:
$$A_{t} = A_{l} + A_{bazei}$$
$$A_{t} = 84,16 \ cm^{2} + 64 \ cm^{2}$$
$$\boxed{A_{t} = 148,16 \ cm^{2}}$$
Deci, aria totală a piramidei este aproximativ $148,16 \ cm^{2}$.
Volumul piramidei $(V_{p})$:
Volumul unei piramide este dat de formula:
$$V_{p}=\frac{A_{b} \cdot h}{3}$$
unde: $A_{b}$ = aria bazei; $h$ = inaltimea piramidei.
$$V_{p} = \frac{64 \ cm^{2} \cdot 12 \ cm}{3}$$
$$V_{p} = \frac{768 \ cm^{3}}{3}$$
$$\boxed{V_{p} = 256 \ cm^3}$$
Deci, volumul piramidei este de $256 \ cm^{3}$.